2026 年菲尔兹奖：王虹
王虹（Hong Wang）是纽约大学柯朗数学科学研究所和法国高等科学研究所的数学家，在 2026 年国际数学家大会（ICM）上荣获菲尔兹奖。菲尔兹奖是数学界最负盛名的奖项之一，每四年颁发一次，“以表彰已有的杰出数学成就，以及未来取得成果的潜力”。
声波、雪花和旋转的针有什么共同点？答案就在王虹的研究中。她因在调和分析和几何测度论方面的工作，在 2026 年 ICM 上被授予菲尔兹奖。
图片由西蒙斯基金会提供。
声波
数学中最非凡的工具之一——傅里叶分析——可以把任何声波（无论它多么奇怪）分解为若干更简单、规律重复的波（称为正弦波）的叠加。约瑟夫·傅里叶在 19 世纪的这一发现，是 MP3 音频压缩和语音识别等许多技术的基础。
傅里叶分析在数学的各个领域都极具价值，它使许多数学函数能够用这些更简单的函数表示。如果你能把复杂的数学问题用更简单的问题表达出来，那么解决难题就可能容易得多。（基础介绍见这里，一个几乎不涉及数学的应用示例见这里。）
函数 f 随时间变化，表示一个声波。傅里叶分析把 f 分解为它的傅里叶变换，即一组具有特定频率和振幅的正弦波。傅里叶变换在频域中表现为尖峰，尖峰高度表示该频率波的振幅。（图片：Lucas V. Barbosa，公有领域）
傅里叶最初发展这一技术，是为了用数学方法理解热量如何在物体中流动；如今它广泛用于图像分析、数学物理和经济学等应用。调和分析将这一方法推广到更广泛的数学问题，其中许多仍未解决。“仍然有很多未解问题和现象，我们希望能更好地理解它们。”王虹说。
雪花
王虹也因在几何测度论方面的工作而获得认可。数学家通常用来理解形状几何性质的工具依赖微积分，但这些工具只适用于光滑曲面。但面对某些形状——甚至像相互交叠的肥皂泡这样熟悉的形状——这些工具也会失效。几何测度论转而使用测度论中的思想（测度论把长度、面积和体积等概念形式化，这里有一篇入门介绍）来理解不光滑形状的几何。
这个领域的重要概念之一是豪斯多夫维数，它描述物体的测度如何随其大小变化（这里的测度是长度、面积、体积等的推广）。当通常规则适用时，测度的变化符合预期，并与物体维数相关：正方形边长加倍，其一维周长变为原来的 2 倍，二维面积变为原来的 4 倍。但对于分形等复杂形状，规则会失效。
科赫雪花的不同迭代。每一次迭代中，每段线段的中间三分之一被一个由小等边三角形两边形成的“帐篷”替换。图片：Wxs，通过 Inkscape 创建；CC BY-SA 3.0。
你可以在著名分形曲线科赫雪花中看到这一点。它从等边三角形开始，反复把任意线段的中间三分之一替换为由更小等边三角形的两边构成的帐篷。通过这个过程，雪花的边界可以变得无限长，但它始终位于有限面积之内。这条分形曲线的长度显然与正方形的周长增长方式完全不同，而这一信息由它的豪斯多夫维数 1.26 来刻画。（计算方法见豪斯多夫维数入门。）
旋转的针
调和分析与几何测度论在所谓的挂谷针问题中交汇。1917 年，挂谷宗一提出：要让一根针指向每一个可能的方向，所需的最小面积是多少？你可能马上想到圆，但挂谷已经想出了一个面积更小的形状：一个边向内弯曲的三角形（即三尖瓣线，deltoid）。
旋转一根针所需的最小面积是多少？你可能首先想到圆，但挂谷已经想到了这个更小的形状。（图片：António Miguel de CampClaudio Rocchinios / 维基百科，CC BY 2.5）
能让你以这种方式旋转针的区域被称为挂谷集。在挂谷定义挂谷集仅两年后，阿伯拉姆·贝西科维奇就想出了一种巧妙的构造方法：先滑动针，再极其轻微地扭转它，形成一种类似分形的分支形状。令人惊讶的是，你可以让这个挂谷集的面积任意小。类似过程也可用来构造任意小的挂谷集，让你在三维中旋转针。
用贝西科维奇所建议的方法构造的二维挂谷集。你可以让这个挂谷集内部的面积任意小。更多内容见这里。（图片：Gtgith / 维基百科）
一个本质上面积为零、却仍允许针指向所有方向的区域，看起来似乎不可能；但几何测度论给出了解释：这些挂谷集的豪斯多夫维数必须尽可能大。这被称为挂谷猜想。1971 年，罗伊·戴维斯用短短几页证明了二维情形。但更高维情形一直悬而未决，直到 2025 年王虹和合作者乔舒亚·扎尔（Joshua Zahl）证明了三维情形。
“我对挂谷问题的兴趣来自傅里叶分析。”王虹说。20 世纪 70 年代，查尔斯·费弗曼表明，挂谷集是解决三维傅里叶分析问题的关键。王虹尤其感兴趣的是那些可分解为波的函数，其中每个波都位于一根从球面发出、指向不同方向的细长管中（这一领域在傅里叶分析中称为限制性理论）。“要理解这些函数，就需要理解这些细长管背后的几何——也就是一个挂谷集。”王虹说，“我觉得挂谷集引人入胜的一个原因是，它在不同领域中独立出现，而人们在这些领域研究不同现象。这些令人惊讶的联系非常迷人。”
证明三维挂谷猜想成立，为调和分析中的许多结果提供了根本性支持。“在傅里叶分析中，我们有一座猜想之塔。”王虹说，“挂谷猜想位于另外三个猜想的底部，一个推出另一个。如果你推翻挂谷猜想，就推翻了整座猜想之塔。”王虹和扎尔证明了三维情形，增强了三维中其他猜想也成立的可信度；他们的证明也为攻克塔中其他猜想提供了洞见。（更多内容可见这篇优秀的《Quanta》文章。）
王虹因这项工作以及她对上述领域的许多其他贡献而获得菲尔兹奖。她与许多合作者共事，这是她作为数学家特别享受的一点。王虹还强调了她作为麻省理工学院博士生的经历，以及她的导师拉里·古斯：“我从他那里学会了如何思考数学、如何安排自己的工作……我认为这种训练不仅对数学有帮助，对生活也有帮助。”
相关视频：2026 年菲尔兹奖：王虹（西蒙斯基金会）
.gif){kind=link}
